原码、反码、补码、移码

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2026-10-04

机器里只有 0 和 1，负号存不进去，怎么办？——拿最高位当符号位：0 正 1 负。四种码制就是四种「安排符号位」的方案：原码最像人话，反码是跳板，补码是主角，移码为比大小而生。

一、原码：最像「人话」的码

规则：符号位 + 绝对值，负数只要把符号位改成 1。

+45 \rightarrow 00101101 \qquad -45 \rightarrow 10101101

一眼就懂，但有两个痛点：

零有两个： $+0 = 0000\,0000$ ， $-0 = 1000\,0000$ ，浪费一个编码
减法很麻烦： $5 - 3$ 和 $3 - 5$ 对符号的处理逻辑完全不同，硬件得单独造个减法器

二、反码：负数按位取反（过渡方案）

规则：正数不变；负数 = 符号位不动，数值位按位取反。

-45：\underbrace{10101101}_{原码} \rightarrow \underbrace{11010010}_{反码}

反码仍然有 $+0$ 和 $-0$ （ $1111\,1111$ ），它真正的价值是——求补码的跳板。

三、补码：让减法消失的「模」思想

先看一个时钟

12 小时制的钟，现在 10 点，想调到 1 点：

往回拨 9 格： $10 - 9 = 1$ ✅
往前拨 3 格： $10 + 3 = 13 \equiv 1 \pmod{12}$ ✅

减 9 = 加 3，因为 $9 + 3 = 12$ （模）。只要加出来的数超过模，扔掉进位，结果就对。

8 位机器的「模」是 $2^8 = 256$

-3 \equiv 253 \pmod{256} \qquad 253 = 1111\,1101_2

所以 $1111\,1101$ 就是 $-3$ 的补码——减法变成了加法，减法器下岗：

5 - 3 = 0000\,0101 + 1111\,1101 = \boxed{1}\,0000\,0010 \xrightarrow{\text{丢进位}} 0000\,0010 = 2 ✅

怎么求补码？

真值	求法
正数	和原码一样，不变
负数	反码 $+1$ ；或速算法：从右往左找到第一个 1，它和右边不动，左边全部取反

-3：\ 1000\,0011 \xrightarrow{取反} 1111\,1100 \xrightarrow{+1} 1111\,1101

补码的两大收益

零唯一： $0000\,0000$ 只表示 $+0$ ，省出来的 $1000\,0000$ 分给 $-128$ → 范围多一个
减法变加法： $a - b = a + [\,-b\,]_{补}$ ，CPU 一个加法器走天下

四、移码：为「比大小」而生

规则：补码的符号位取反（等价于真值 $+ 2^{n-1}$ ）。

真值	补码	移码
$-128$	$1000\,0000$	$0000\,0000$
$0$	$0000\,0000$	$1000\,0000$
$+127$	$0111\,1111$	$1111\,1111$

妙处：移码当成无符号数看，数值大小顺序和真值完全一致（ $-128$ 最小 → 0000 0000 最小）。比较器不用管符号位，直接比。

为什么浮点数的阶码用移码？

对阶、比较阶码大小时，移码可以当普通无符号数直接比大小，硬件简单。呼应上一章：阶码（移码）定范围，尾数（补码/原码）定精度。

五、8 位典型值对照总表

真值	原码	反码	补码	移码
$+127$	0111 1111	0111 1111	0111 1111	1111 1111
$+1$	0000 0001	0000 0001	0000 0001	1000 0001
$+0$	0000 0000	0000 0000	0000 0000	1000 0000
$-0$	1000 0000	1111 1111	—（就是 +0）	—
$-1$	1000 0001	1111 1110	1111 1111	0111 1111
$-127$	1111 1111	1000 0000	1000 0001	0000 0001
$-128$	无法表示	无法表示	1000 0000	0000 0000

六、范围速查

$n$ 位机器字长（含 1 位符号位）：

码制	定点整数	定点小数
原码 / 反码	$-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)$	$-(1-2^{-(n-1)}) \sim +(1-2^{-(n-1)})$
补码 / 移码	$-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)$	$-1 \sim +(1-2^{-(n-1)})$

速记口诀

正数三码合一：原码 = 反码 = 补码
负数：反码 = 原码数值位取反；补码 = 反码 $+1$ ；移码 = 补码符号位取反
补码 / 移码比原码 / 反码多表示一个 $-2^{n-1}$ （零唯一省出来的格子）

七、转换演练

演练 1：+45 的四种码

$45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 101101_2$

原码 = 反码 = 补码 = $0010\,1101$ （正数三码合一）
移码 = 符号位取反 = $1010\,1101$

演练 2：−52 的四种码

$52 = 32 + 16 + 4 = 110100_2$

原码： $1\,0110100 = 1011\,0100$
反码：数值位取反 $\rightarrow 1100\,1011$
补码：反码 $+1 \rightarrow 1100\,1100$
移码：补码符号位取反 $\rightarrow 0100\,1100$

演练 3：补码 → 真值（逆向）

已知 8 位补码 $1110\,0110$ ，求真值：

符号位 1 → 负数
速算法反向用： $1110\,0110$ 右起第一个 1 在第 0 位，左边全取反 $\rightarrow 1001\,1010$
$1001\,1010_2 = 26$ → 真值 $-26$

验算： $-26$ 原码 $1001\,1010$ → 反码 $1110\,0101$ → 补码 $1110\,0110$ ✅