仲夏夜之梦

外观

第一章 计算机科学基础（0~1 分）

约 1815 字大约 6 分钟

2026-10-04

属于零星考点，但概念清楚后基本是送分题。 知识地图：数制及其转换 → 计算机内数据的表示 → 编码基础（CRC）

知识讲解

一、数制及其转换

计算机只认 0 和 1，人习惯十进制，为了书写方便还有八进制和十六进制。

任意进制 → 十进制：按权展开

10112=1×23+0×22+1×21+1×20=111011_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 11

十进制 → 二进制：整数部分「除 2 取余，余数倒着写」；小数部分「乘 2 取整，整数顺着写」。

二进制 ↔ 八进制 / 十六进制：分组转换

转换方向分组方法例子
二 → 八3 位一组1011102=568101 110_2 = 56_8
二 → 十六4 位一组101110102=BA161011 1010_2 = \text{BA}_{16}

二、计算机内数据的表示

计算机中的数据分两大类：

  • 数值数据：定点数、浮点数、无符号数（能拿来做算术的）
  • 非数值数据：文本、图形图像、音频视频（符号类信息）

1. 定点数与浮点数

定点数：小数点位置固定不动，要么约定为纯整数，要么约定为纯小数。

浮点数：小数点位置可以浮动，本质上就是二进制版的科学计数法（类似 1.5×1031.5 \times 10^3）。

n=2e×mn = 2^{e} \times m

浮点数在机器里的样子：阶符 | 阶码 | 数符 | 尾数

部件是什么常用什么码制决定什么
阶码 ee指数，定点整数移码表示范围
尾数 mm纯小数原码 / 补码表示精度

浮点数两大铁律（考试最爱）

  • 阶码 ee 的位数越多 → 能表示的范围越大
  • 尾数 mm 的位数越多 → 能表示的精度越高

一句话记住：指数定范围，尾数定精度。

2. 各种码制的表示范围（重点表格）

nn 位机器字长（含 1 位符号位）：

码制定点整数定点小数
原码−(2n−1−1)∼+(2n−1−1)-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)−(1−2−(n−1))∼+(1−2−(n−1))-(1-2^{-(n-1)}) \sim +(1-2^{-(n-1)})
反码−(2n−1−1)∼+(2n−1−1)-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)−(1−2−(n−1))∼+(1−2−(n−1))-(1-2^{-(n-1)}) \sim +(1-2^{-(n-1)})
补码−2n−1∼+(2n−1−1)-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)−1∼+(1−2−(n−1))-1 \sim +(1-2^{-(n-1)})
移码−2n−1∼+(2n−1−1)-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)−1∼+(1−2−(n−1))-1 \sim +(1-2^{-(n-1)})

怎么直观理解这张表？

  • nn 位编码总共 2n2^{n} 个格子，不管什么码制，格子总数不变，只是分配方式不同
  • 原码 / 反码：正负对称，但 +0+0 和 −0-0 占了两个格子，浪费了一个 → 比 2n−12^{n-1} 少 1
  • 补码 / 移码：00 只有唯一样子，省出一个格子分给最小负数 → 多表示一个 −2n−1-2^{n-1}
  • 补码定点小数最特殊：最小能到 −1-1，别的码制只能到 −(1−2−(n−1))-(1-2^{-(n-1)})

3. 编码基础

本节主角是 CRC 循环冗余校验码，另外还有海明码（纠错）和霍夫曼编码（压缩），本章只考 CRC。

CRC 是干嘛的？ 数据传输时可能出错，发送方按规则在数据尾巴上挂一小段「校验码」，接收方用同样规则验一遍，余数不是 0 就说明传坏了。

三步拿下 CRC：

  1. 添 0：生成多项式最高次幂是几，就在原始信息后面添几个 0（设为 kk 个）
  2. 模 2 除法：用添 0 后的数除以生成多项式对应的二进制串。模 2 除法就是连续做 XOR（不进位、不借位）
  3. 接尾巴：把 kk 位余数接在原始信息后面，就是最终 CRC 编码
手把手算一遍（对应本站题目 6）

原始信息 11001100，生成多项式 x3+x+1x^3 + x + 1（对应二进制 10111011）：

  1. 最高次幂 3 → 添 3 个 0：1100 0001100\ 000
  2. 1100000÷10111100000 \div 1011（模 2 除法）→ 余数 010010
  3. CRC 编码 = 11001100 + 010010 = 11000101100010 ✅

题目

先做题，再看答案

以下 6 题按考核方式分组，答案与解析统一放在最后一节，做完再往下翻～

考核方式 1：浮点数的特点

第 1 题 浮点数在机器中的表示形式如下，若阶码长度为 ee，尾数长度为 mm，以下叙述正确的是（　）

  • ① ee 的值影响浮点数的范围，ee 越大，范围越大
  • ② ee 的值影响浮点数的精度，ee 越大，精度越高
  • ③ mm 的值影响浮点数的范围，mm 越大，范围越大
  • ④ mm 的值影响浮点数的精度，mm 越大，精度越高

A. ①③ 　B. ②③ 　C. ①④ 　D. ②④

第 2 题 某机器浮点数格式允许非规格化表示：阶符 1 位、阶码 4 位（补码）、数符 1 位、尾数 10 位（原码）。则 10001000000000011000100000000001 表示的浮点数是（　）

  • A. 2−16×2−102^{-16} \times 2^{-10}
  • B. 2−15×2−102^{-15} \times 2^{-10}
  • C. 2−16×(1−2−10)2^{-16} \times (1-2^{-10})
  • D. 2−15×(1−2−10)2^{-15} \times (1-2^{-10})

第 3 题 某浮点数格式：7 位阶码（含 1 位符号，移码）、9 位尾数（含 1 位符号，规格化补码）。它能表示的数的范围是（　）

  • A. −263∼(1−2−8)×263-2^{63} \sim (1-2^{-8}) \times 2^{63}
  • B. −264∼(1−2−7)×264-2^{64} \sim (1-2^{-7}) \times 2^{64}
  • C. −(1−2−8)×263∼263-(1-2^{-8}) \times 2^{63} \sim 2^{63}
  • D. −(1−2−7)×264∼(1−2−8)×263-(1-2^{-7}) \times 2^{64} \sim (1-2^{-8}) \times 2^{63}

考核方式 2：定点数的特点

第 4 题 机器字长为 nn 位的二进制数，用补码可以表示（　）个不同的有符号定点小数。

A. 2n2^{n} 　B. 2n−12^{n}-1 　C. 2n−12^{n-1} 　D. 2n−1+12^{n-1}+1

第 5 题 采用 nn 位补码（含 1 位符号位）表示数据，可以直接表示的数值是（　）

A. 2n2^{n} 　B. −2n-2^{n} 　C. 2n−12^{n-1} 　D. −2n−1-2^{n-1}

考核方式 3：CRC 编码

第 6 题 若数据信息为 11001100，生成多项式为 x3+x+1x^3+x+1（即 10111011），则 CRC 编码是（　）

A. 11000101100010 　B. 10110101011010 　C. 11000111100011 　D. 10111101011110

答案与解析

第 1 题 —— 答案：C

两大铁律的直接应用：阶码定范围（①对），尾数定精度（④对）。②和③正好说反了。

第 2 题 —— 答案：B

先把 16 位串按格式切开：10001000000000011 0001 0 0000000001（阶符、阶码、数符、尾数）。

  • 阶符 11、阶码补码 00010001 → 负数。补码转原码：按位取反加 1，得 11111111，即 −15-15
  • 数符 00、尾数原码 00000000010000000001（非规格化）→ +2−10+2^{-10}

所以该浮点数 = 2−15×2−102^{-15} \times 2^{-10}。

第 3 题 —— 答案：A

套公式：RR 位阶码（含 1 符号位）、MM 位尾数（含 1 符号位）时，范围为

[−22R−1−1, (1−2−(M−1))×22R−1−1][-2^{2^{R-1}-1},\ (1-2^{-(M-1)}) \times 2^{2^{R-1}-1}]

代入 R=7R=7、M=9M=9：指数最大 26−1=632^{6}-1 = 63，尾数最大 1−2−81-2^{-8}，即 −263∼(1−2−8)×263-2^{63} \sim (1-2^{-8}) \times 2^{63}。

第 4 题 —— 答案：A

nn 位编码就是 2n2^{n} 个格子，补码没有 ±0\pm 0 重复问题，每个格子对应一个不同的小数，所以正好 2n2^{n} 个。

第 5 题 —— 答案：D

nn 位补码（含符号位）范围是 −2n−1∼+(2n−1−1)-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)：

  • A 2n2^{n}、B −2n-2^{n}：直接爆表 ❌
  • C 2n−12^{n-1}：比最大值 2n−1−12^{n-1}-1 还大 1 ❌
  • D −2n−1-2^{n-1}：正好是最小值 ✅（这是补码独有的「福利位」）

第 6 题 —— 答案：A

按三步走：

  1. 生成多项式 x3+x+1x^3+x+1 最高次幂 3 → 11001100 后添 3 个 0 → 11000001100000
  2. 1100000÷10111100000 \div 1011（模 2 除法，一路 XOR）→ 余数 010010
  3. CRC 编码 = 11001100 + 010010 = 11000101100010