基础逻辑运算

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2026-10-04

计算机里一切运算的尽头，都是 0 和 1 的逻辑运算。先一句话记住四位主角：与（都真才真）、或（有真就真）、非（真假翻转）、异或（不同才真）。

知识讲解

一、用电路秒懂四种运算

把 1 当「开关按下」、0 当「没按」，灯亮是 1：

与 AND：两个开关串联——都得按，灯才亮
或 OR：两个开关并联——随便按一个，灯就亮
非 NOT：开关接反——按下反而灭，不按反而亮
异或 XOR：双控开关（卧室门口一个、床头一个）——两个开关状态不同时灯亮，相同则灭

双控开关是绝杀比喻

家里楼梯灯就是异或：楼上开关和楼下开关扳的方向不一样，灯就亮；扳成一样，灯就灭——「不同为 1，相同为 0」。

二、真值表（必须刻进 DNA）

$A$	$B$	与 $A \cdot B$	或 $A + B$	异或 $A \oplus B$	同或
0	0	0	0	0	1
0	1	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0
1	1	1	1	0	1

按列看规律，一眼记住：

与：全 1 才 1，见 0 出 0（1 是稀缺品）
或：有 1 就 1，全 0 才 0（0 是稀缺品）
异或：不同为 1，相同为 0
同或：异或的反面，相同为 1（名字已经剧透：同 → 1）

三、非，以及两个「万能门」

非 NOT：单目运算，记作 $\overline{A}$ 或 $\sim A$ ，0 变 1、1 变 0。

两个重要的派生门（考试偶尔露脸）：

运算	规则	一句话
与非 NAND	先与后非	全 1 才 0，见 0 出 1
或非 NOR	先或后非	全 0 才 1，见 1 出 0

万能门

只靠与非门（NAND）一种，就能拼出与、或、非任何逻辑，或非门同理。所以工程上 NAND 被称为「万能门」——芯片里大面积都是它。

四、多个比特：按位运算

真值表是一对比特的事；对多比特数，就每一位独立按规则算，互不打扰。

设 $x = 1011\,0110$ ，看三种经典用法（考题常客）：

用法	表达式	结果	干了什么
掩码（取出低 4 位）	$1011\,0110 \& 0000\,1111$	$0000\,0110$	和 0 与 → 强制清零；和 1 与 → 原样保留
置位（低 4 位全变 1）	$1011\,0110 \mid 0000\,1111$	$1011\,1111$	和 1 或 → 强制置 1；和 0 或 → 原样保留
翻转（低 4 位 0↔1）	$1011\,0110 \oplus 0000\,1111$	$1011\,1001$	和 1 异或 → 翻转；和 0 异或 → 原样保留

三兄弟速记

与 0 清零、或 1 置位、异或 1 翻转——对照着记，掩码类题目直接口算。

五、异或的三大性质（考试最爱）

a \oplus 0 = a \qquad a \oplus a = 0 \qquad a \oplus b \oplus b = a

恒等律：和 0 异或 = 不变
归零律：自己异或自己 = 0
自反性：异或两次同一个数，还原！（简单加密的原理）

奇偶校验也靠它：把一个字节所有位连续异或，结果是 1 说明 1 的个数是奇数个。

六、和前面知识的连线

CRC 的「模 2 加法 / 模 2 减法」就是异或——消 1 游戏里每一步的 XOR 就是它（见第一章 CRC）
反码的「按位取反」就是按位非 NOT
补码 = 反码 + 1，反码是 NOT 的直接应用

小测自检

$1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 = ?$
$1101 \& 1011 = ?$ 　　 $1101 \mid 0110 = ?$
只用与非门，怎么造一个「非门」？

参考答案

$1$ （1 的个数是 3 个，奇数个 1 → 结果 1；或逐步算： $1 \oplus 0 = 1$ ， $1 \oplus 1 = 0$ ， $0 \oplus 1 = 1$ ）
$1101 \& 1011 = 1001$ （逐位与）； $1101 \mid 0110 = 1111$ （逐位或）
NAND 的两个输入接在一起： $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$ ，就是非门 ✅